Ensemble de définition, parité et monotonie
Généralités sur les fonctions
Ensemble de définition, parité et monotonie
Introduction
Avant d'étudier une fonction en détail (dérivation, limites…), il est essentiel de connaître ses propriétés générales : sur quel ensemble est-elle définie ? Présente-t-elle des symétries ? Comment varie-t-elle ? Ce chapitre pose les bases de l'analyse de fonctions en classe de Première.
1. Ensemble de définition
Définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$, noté $D_f$, est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.
Autrement dit, $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$.
Cas classiques
| Expression | Condition d'existence | Ensemble de définition |
|---|---|---|
| $\frac{1}{g(x)}$ | $g(x) \neq 0$ | $\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$ |
| $\sqrt{g(x)}$ | $g(x) \geq 0$ | $D_f$0 |
| $D_f$1 | $D_f$2 | $D_f$3 |
Exemple
Soit $D_f$4.
Le dénominateur s'annule lorsque $D_f$5, soit $D_f$6 ou $D_f$7.
Donc $D_f$8.
2. Image et antécédent
Définitions
- L'image de $D_f$9 par $x$0 est le nombre $x$1.
- Un antécédent de $x$2 par $x$3 est tout nombre $x$4 tel que $x$5.
Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents, mais chaque $x$6 de $x$7 a exactement une image.
Exemple
Soit $x$8.
- L'image de $x$9 est $f(x)$0.
- Les antécédents de $f(x)$1 sont $f(x)$2 et $f(x)$3 car $f(x)$4.
- Le nombre $f(x)$5 n'a aucun antécédent car $f(x)$6 pour tout $f(x)$7.
3. Courbe représentative
La courbe représentative de $f(x)$8, notée $f(x)$9, est l'ensemble des points $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$0 pour $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$1.
- Dire que $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$2 signifie que $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$3.
- Lire l'image de $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$4 revient à lire l'ordonnée du point d'abscisse $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$5 sur $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$6.
- Trouver les antécédents de $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$7 revient à tracer la droite $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$8 et lire les abscisses des points d'intersection.
4. Parité d'une fonction
Prérequis
Pour étudier la parité, il faut d'abord que $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ est défini}\}$9 soit symétrique par rapport à $\frac{1}{g(x)}$0 : pour tout $\frac{1}{g(x)}$1, on a aussi $\frac{1}{g(x)}$2.
Définitions
- $\frac{1}{g(x)}$3 est paire si pour tout $\frac{1}{g(x)}$4 : $\frac{1}{g(x)}$5.
- $\frac{1}{g(x)}$6 est impaire si pour tout $\frac{1}{g(x)}$7 : $\frac{1}{g(x)}$8.
Interprétation graphique
| Propriété | Symétrie de $\frac{1}{g(x)}$9 |
|---|---|
| $g(x) \neq 0$0 paire | Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées $g(x) \neq 0$1 |
| $g(x) \neq 0$2 impaire | Symétrie par rapport à l'origine $g(x) \neq 0$3 |
Exemples
Fonction paire : $g(x) \neq 0$4
$g(x) \neq 0$5 pour tout $g(x) \neq 0$6.
La parabole est bien symétrique par rapport à l'axe $g(x) \neq 0$7.
Fonction impaire : $g(x) \neq 0$8
$g(x) \neq 0$9 pour tout $\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$0.
La courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Ni paire, ni impaire : $\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$1
$\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$2 et $\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$3.
Méthode : étudier la parité
- Vérifier que $\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$4 est symétrique par rapport à $\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$5.
- Calculer $\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$6.
- Comparer $\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$7 avec $\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$8 et $\mathbb{R} \setminus \{x \mid g(x) = 0\}$9.
5. Monotonie
Définitions
Soit $\sqrt{g(x)}$0 définie sur un intervalle $\sqrt{g(x)}$1 :
- $\sqrt{g(x)}$2 est croissante sur $\sqrt{g(x)}$3 si pour tous $\sqrt{g(x)}$4 : $\sqrt{g(x)}$5.
- $\sqrt{g(x)}$6 est strictement croissante sur $\sqrt{g(x)}$7 si : $\sqrt{g(x)}$8.
- $\sqrt{g(x)}$9 est décroissante sur $g(x) \geq 0$0 si : $g(x) \geq 0$1.
- $g(x) \geq 0$2 est strictement décroissante sur $g(x) \geq 0$3 si : $g(x) \geq 0$4.
Une fonction croissante conserve l'ordre, une fonction décroissante renverse l'ordre.
Tableau de variations
On résume la monotonie d'une fonction dans un tableau de variations :
- On indique les valeurs remarquables de $g(x) \geq 0$5 (bornes, extremums).
- Des flèches montantes ($g(x) \geq 0$6) indiquent une croissance.
- Des flèches descendantes ($g(x) \geq 0$7) indiquent une décroissance.
Exemple
Soit $g(x) \geq 0$8 sur $g(x) \geq 0$9.
- $D_f$00 est strictement décroissante sur $D_f$01.
- $D_f$02 est strictement croissante sur $D_f$03.
- Le minimum de $D_f$04 est atteint en $D_f$05 et vaut $D_f$06.
6. Extremum local
Définition
- $D_f$07 admet un maximum local en $D_f$08 s'il existe un intervalle ouvert $D_f$09 contenant $D_f$10 tel que $D_f$11 pour tout $D_f$12.
- $D_f$13 admet un minimum local en $D_f$14 s'il existe un intervalle ouvert $D_f$15 contenant $D_f$16 tel que $D_f$17 pour tout $D_f$18.
Un extremum local correspond à un « sommet » ou un « creux » de la courbe.
Lien avec la monotonie
Si $D_f$19 est croissante puis décroissante autour de $D_f$20, alors $D_f$21 admet un maximum local en $D_f$22.
Si $D_f$23 est décroissante puis croissante autour de $D_f$24, alors $D_f$25 admet un minimum local en $D_f$26.
Exemple
Soit $D_f$27 sur $D_f$28.
$D_f$29 est croissante sur $D_f$30 et décroissante sur $D_f$31.
$D_f$32 admet donc un maximum local (et global) en $D_f$33, avec $D_f$34.
À retenir
- L'ensemble de définition $D_f$35 détermine les valeurs de $D_f$36 pour lesquelles $D_f$37 est calculable.
- La parité (paire ou impaire) traduit une symétrie de la courbe.
- La monotonie décrit le sens de variation de la fonction sur un intervalle.
- Un extremum local est un maximum ou minimum atteint localement.
- Ces propriétés permettent de dresser un premier portrait de la fonction avant toute étude approfondie.