Composition et valeur absolue
Généralités sur les fonctions
Composition de fonctions et valeur absolue
Introduction
La composition de fonctions est une opération fondamentale qui permet de construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions connues. La valeur absolue, quant à elle, est un outil algébrique et géométrique incontournable. Ce cours couvre ces deux notions au programme de Première.
1. Composition de fonctions
Définition
Soient deux fonctions $f$ et $g$. La composée de $f$ par $g$, notée $g \circ f$ (lire « $g$ rond $f$ »), est la fonction définie par :
$$(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)$$
L'ordre est important : on applique d'abord $f$, puis $g$.
Attention : en général, $g \circ f \neq f \circ g$.
Ensemble de définition de la composée
$g \circ f$ est définie pour les $x \in D_f$ tels que $f(x) \in D_g$.
Exemple
Soient $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = x^2$.
$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$
$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$
On vérifie que $g \circ f \neq f \circ g$ : pour $x = 1$, $(g \circ f)(1) = 9$ tandis que $(f \circ g)(1) = 3$.
2. Sens de variation d'une composée
C'est un résultat essentiel pour l'étude de fonctions :
Théorème
| Variations de $f$ | Variations de $g$ | Variations de $g \circ f$ |
|---|---|---|
| Croissante ($\nearrow$) | Croissante ($\nearrow$) | Croissante ($\nearrow$) |
| Croissante ($\nearrow$) | Décroissante ($\searrow$) | Décroissante ($\searrow$) |
| Décroissante ($\searrow$) | Croissante ($\nearrow$) | Décroissante ($\searrow$) |
| Décroissante ($\searrow$) | Décroissante ($\searrow$) | Croissante ($\nearrow$) |
Règle mnémotechnique : même sens → croissante ; sens contraires → décroissante. C'est la règle des signes appliquée aux variations.
Exemple
Soit $h(x) = (2x - 3)^2$.
On décompose : $h = g \circ f$ avec $f(x) = 2x - 3$ (affine, croissante) et $g(t) = t^2$.
- $g$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$.
- $f(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.
Donc :
- Sur $\left]-\infty ; \frac{3}{2}\right]$ : $f$ croissante et $g$ décroissante → $h$ décroissante.
- Sur $\left[\frac{3}{2} ; +\infty\right[$ : $f$ croissante et $g$ croissante → $h$ croissante.
Le minimum de $h$ est atteint en $x = \frac{3}{2}$ et vaut $h\left(\frac{3}{2}\right) = 0$.
3. La fonction valeur absolue
Définition
La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est définie par :
$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$
$|x|$ représente la distance de $x$ à l'origine sur la droite des réels.
Courbe représentative
La courbe de la fonction $x \mapsto |x|$ a la forme d'un V pointant vers le haut, avec un sommet en $O(0 ; 0)$.
- Sur $]-\infty ; 0]$ : la courbe est la droite $y = -x$ (pente $-1$).
- Sur $[0 ; +\infty[$ : la courbe est la droite $y = x$ (pente $+1$).
La fonction valeur absolue est paire : $|-x| = |x|$ pour tout $x$, ce qui se traduit par la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées.
4. Propriétés de la valeur absolue
Propriétés fondamentales
Pour tous réels $a$ et $b$ :
- $|a| \geq 0$ et $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$
- $|-a| = |a|$
- $|ab| = |a| \cdot |b|$ (multiplicativité)
- $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ pour $b \neq 0$
- $|a|^2 = a^2$
Inégalité triangulaire
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$|a + b| \leq |a| + |b|$$
C'est l'une des inégalités les plus importantes en mathématiques. L'égalité a lieu si et seulement si $a$ et $b$ sont de même signe (ou l'un des deux est nul).
Exemple
Avec $a = 3$ et $b = -5$ :
$|a + b| = |3 + (-5)| = |-2| = 2$
$|a| + |b| = 3 + 5 = 8$
On vérifie bien $2 \leq 8$.
5. Résolution d'équations avec valeur absolue
Équation $|X| = k$
- Si $k > 0$ : deux solutions, $X = k$ ou $X = -k$.
- Si $k = 0$ : une solution, $X = 0$.
- Si $k < 0$ : aucune solution (la valeur absolue est toujours positive).
Exemple
Résoudre $|2x - 5| = 3$.
$$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$
$$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$
$$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$
L'ensemble des solutions est $S = \{1 ; 4\}$.
Vérification : $|2(4) - 5| = |3| = 3$ ✓ et $|2(1) - 5| = |-3| = 3$ ✓
6. Résolution d'inéquations avec valeur absolue
Inéquation $|X| \leq k$ (avec $k \geq 0$)
$$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$
Inéquation $|X| \geq k$ (avec $k \geq 0$)
$$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$
Exemple
Résoudre $|x - 3| < 2$.
$$-2 < x - 3 < 2$$
$$1 < x < 5$$
L'ensemble des solutions est l'intervalle ouvert $]1 ; 5[$.
Interprétation géométrique : les réels dont la distance à $3$ est strictement inférieure à $2$.
7. Interprétation géométrique de la valeur absolue
La valeur absolue a une signification géométrique très naturelle :
$$|a - b| = \text{distance entre les points d'abscisses } a \text{ et } b \text{ sur la droite des réels}$$
Cette interprétation est très utile pour résoudre des inéquations :
- $|x - 3| < 2$ : les points à distance inférieure à $2$ du point $3$, soit $]1 ; 5[$.
- $|x + 1| \geq 4$ : les points à distance supérieure ou égale à $4$ du point $-1$, soit $]-\infty ; -5] \cup [3 ; +\infty[$.
Exemple : encadrement avec la valeur absolue
Si $|x - 2| \leq 0{,}5$, alors $1{,}5 \leq x \leq 2{,}5$.
Cela signifie que $x$ est une approximation de $2$ à $0{,}5$ près.
À retenir
- La composée $g \circ f$ s'obtient en appliquant $f$ puis $g$ : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.
- Le sens de variation d'une composée suit la règle des signes : même sens → croissante, sens contraires → décroissante.
- La valeur absolue $|x|$ mesure la distance à zéro : $|x| \geq 0$ et $|x| = 0 \iff x = 0$.
- Inégalité triangulaire : $|a + b| \leq |a| + |b|$.
- $|X| = k$ donne deux solutions (si $k > 0$), $|X| \leq k$ donne un intervalle $[-k ; k]$.
- $|a - b|$ est la distance entre $a$ et $b$ sur la droite réelle.