Composition de fonctions et valeur absolue

Introduction

La composition de fonctions est une opération fondamentale qui permet de construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions connues. La valeur absolue, quant à elle, est un outil algébrique et géométrique incontournable. Ce cours couvre ces deux notions au programme de Première.

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1. Composition de fonctions

Définition

Soient deux fonctions $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$3 et $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$4. La composée de $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$5 par $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$6, notée $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$7 (lire « $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$8 rond $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$9 »), est la fonction définie par :

$$(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)$$

L'ordre est important : on applique d'abord $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$0, puis $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$1.

Attention : en général, $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$2.

Ensemble de définition de la composée

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$3 est définie pour les $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$4 tels que $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$5.

Exemple

Soient $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$6 et $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$7.

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$

On vérifie que $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$8 : pour $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$9, $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$0 tandis que $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$1.

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2. Sens de variation d'une composée

C'est un résultat essentiel pour l'étude de fonctions :

Théorème

Variations de $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$2	Variations de $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$3	Variations de $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$4
Croissante ($$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$5)	Croissante ($$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$6)	Croissante ($$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$7)
Croissante ($$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$8)	Décroissante ($$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$9)	Décroissante ($$|a + b| \leq |a| + |b|$$0)
Décroissante ($$|a + b| \leq |a| + |b|$$1)	Croissante ($$|a + b| \leq |a| + |b|$$2)	Décroissante ($$|a + b| \leq |a| + |b|$$3)
Décroissante ($$|a + b| \leq |a| + |b|$$4)	Décroissante ($$|a + b| \leq |a| + |b|$$5)	Croissante ($$|a + b| \leq |a| + |b|$$6)

Règle mnémotechnique : même sens → croissante ; sens contraires → décroissante. C'est la règle des signes appliquée aux variations.

Exemple

Soit $$|a + b| \leq |a| + |b|$$7.

On décompose : $$|a + b| \leq |a| + |b|$$8 avec $$|a + b| \leq |a| + |b|$$9 (affine, croissante) et $$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$0.

• $$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$1 est décroissante sur $$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$2 et croissante sur $$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$3.
• $$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$4.

Donc :
- Sur $$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$5 : $$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$6 croissante et $$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$7 décroissante → $$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$8 décroissante.
- Sur $$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$9 : $$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$0 croissante et $$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$1 croissante → $$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$2 croissante.

Le minimum de $$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$3 est atteint en $$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$4 et vaut $$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$5.

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3. La fonction valeur absolue

Définition

La valeur absolue d'un nombre réel $$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$6, notée $$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$7, est définie par :

$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

$$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$8 représente la distance de $$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$9 à l'origine sur la droite des réels.

Courbe représentative

La courbe de la fonction $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$0 a la forme d'un V pointant vers le haut, avec un sommet en $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$1.

• Sur $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$2 : la courbe est la droite $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$3 (pente $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$4).
• Sur $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$5 : la courbe est la droite $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$6 (pente $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$7).

La fonction valeur absolue est paire : $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$8 pour tout $$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$9, ce qui se traduit par la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées.

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4. Propriétés de la valeur absolue

Propriétés fondamentales

Pour tous réels $$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$0 et $$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$1 :

1. $$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$2 et $$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$3
2. $$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$4
3. $$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$5 (multiplicativité)
4. $$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$6 pour $$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$7
5. $$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$8

Inégalité triangulaire

Pour tous réels $$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$9 et $$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$0 :

$$|a + b| \leq |a| + |b|$$

C'est l'une des inégalités les plus importantes en mathématiques. L'égalité a lieu si et seulement si $$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$1 et $$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$2 sont de même signe (ou l'un des deux est nul).

Exemple

Avec $$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$3 et $$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$4 :

$$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$5

$$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$6

On vérifie bien $$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$7.

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5. Résolution d'équations avec valeur absolue

Équation $$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$8

• Si $$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$9 : deux solutions, $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$00 ou $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$01.
• Si $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$02 : une solution, $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$03.
• Si $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$04 : aucune solution (la valeur absolue est toujours positive).

Exemple

Résoudre $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$05.

$$2x - 5 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = -3$$
$$2x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = 2$$
$$x = 4 \quad \text{ou} \quad x = 1$$

L'ensemble des solutions est $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$06.

Vérification : $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$07 ✓ et $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$08 ✓

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6. Résolution d'inéquations avec valeur absolue

Inéquation $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$09 (avec $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$10)

$$|X| \leq k \iff -k \leq X \leq k$$

Inéquation $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$11 (avec $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$12)

$$|X| \geq k \iff X \leq -k \quad \text{ou} \quad X \geq k$$

Exemple

Résoudre $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$13.

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$0
$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$1

L'ensemble des solutions est l'intervalle ouvert $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$14.

Interprétation géométrique : les réels dont la distance à $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$15 est strictement inférieure à $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$16.

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7. Interprétation géométrique de la valeur absolue

La valeur absolue a une signification géométrique très naturelle :

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$2

Cette interprétation est très utile pour résoudre des inéquations :

• $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$17 : les points à distance inférieure à $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$18 du point $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$19, soit $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$20.
• $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$21 : les points à distance supérieure ou égale à $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$22 du point $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$23, soit $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$24.

Exemple : encadrement avec la valeur absolue

Si $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$25, alors $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$26.

Cela signifie que $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$27 est une approximation de $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$28 à $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$29 près.

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À retenir

• La composée $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$30 s'obtient en appliquant $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$31 puis $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$32 : $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$33.
• Le sens de variation d'une composée suit la règle des signes : même sens → croissante, sens contraires → décroissante.
• La valeur absolue $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$34 mesure la distance à zéro : $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$35 et $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$36.
• Inégalité triangulaire : $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$37.
• $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$38 donne deux solutions (si $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$39), $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$40 donne un intervalle $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$41.
• $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$42 est la distance entre $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$43 et $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2$$44 sur la droite réelle.