Modèles exponentiels et équations différentielles
Fonction exponentielle
Modèles exponentiels et équations différentielles
Introduction
La fonction exponentielle n'est pas qu'un objet mathématique abstrait : elle modélise de nombreux phénomènes concrets en physique, biologie et économie. Dans cette leçon, nous explorons les équations différentielles du premier ordre et les modèles de croissance et décroissance exponentielles.
Équation différentielle $y' = ay$
Définition
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir sa dérivée.
L'équation différentielle la plus simple est :
$$y' = ay$$
où $a$ est une constante réelle.
Théorème
Les solutions de l'équation $y' = ay$ sont les fonctions de la forme :
$$y(x) = C \cdot e^{ax}$$
où $C$ est une constante réelle.
Démonstration (vérification) : Si $y(x) = Ce^{ax}$, alors $y'(x) = Cae^{ax} = a \cdot Ce^{ax} = a \cdot y(x)$. ✓
Condition initiale
Si on impose $y(0) = y_0$, alors $C = y_0$ et la solution unique est :
$$y(x) = y_0 \cdot e^{ax}$$
Exemple : Trouver la fonction $f$ telle que $f' = 3f$ et $f(0) = 5$.
$$f(x) = 5 \cdot e^{3x}$$
Modèle de croissance exponentielle
Croissance d'une population
Lorsqu'une population croît de manière proportionnelle à son effectif, son évolution suit le modèle :
$$N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$$
où :
- $N_0$ est l'effectif initial (à $t = 0$),
- $k > 0$ est le taux de croissance,
- $t$ est le temps.
Exemple : Une colonie de bactéries double toutes les 2 heures. Si l'effectif initial est $N_0 = 1000$ :
On cherche $k$ tel que $N(2) = 2N_0$, soit $e^{2k} = 2$, d'où $k = \dfrac{\ln 2}{2} \approx 0{,}347$.
$$N(t) = 1000 \cdot e^{0{,}347\,t}$$
Après 6 heures : $N(6) = 1000 \cdot e^{0{,}347 \times 6} \approx 1000 \times 8 = 8000$ bactéries.
Modèle de décroissance exponentielle
Décroissance radioactive
Un noyau radioactif se désintègre selon la loi :
$$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$
où $\lambda > 0$ est la constante de désintégration.
Temps de demi-vie
Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est le temps au bout duquel la moitié des noyaux se sont désintégrés :
$$N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2} \implies e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2} \implies t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$
Exemple : Le carbone 14 a une demi-vie de $t_{1/2} = 5730$ ans.
$$\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4} \text{ an}^{-1}$$
Si un échantillon contient 75 % de carbone 14 par rapport à l'original :
$$0{,}75 = e^{-\lambda t} \implies t = \frac{-\ln(0{,}75)}{\lambda} \approx \frac{0{,}288}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 2380 \text{ ans}$$
Autres modèles
Refroidissement de Newton
La température d'un corps dans un milieu ambiant de température $T_a$ vérifie :
$$T(t) = T_a + (T_0 - T_a) \cdot e^{-kt}$$
où $T_0$ est la température initiale et $k > 0$.
Exemple : Un café à $90°C$ refroidit dans une pièce à $20°C$ avec $k = 0{,}05$.
$$T(t) = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}05t}$$
Au bout de 10 minutes : $T(10) = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}5} \approx 20 + 42{,}4 \approx 62{,}4°C$.
Capitalisation continue
Un capital $C_0$ placé à un taux annuel $r$ en capitalisation continue vaut :
$$C(t) = C_0 \cdot e^{rt}$$
Exemple : $1000$ € placés à $3\\%$ continu :
$$C(10) = 1000 \cdot e^{0{,}03 \times 10} = 1000 \cdot e^{0{,}3} \approx 1349{,}86 \text{ €}$$
Résumé des modèles
| Phénomène | Équation | Paramètre |
|---|---|---|
| Croissance bactérienne | $N(t) = N_0 e^{kt}$ | $k > 0$ |
| Décroissance radioactive | $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ | $\lambda > 0$ |
| Refroidissement | $T(t) = T_a + (T_0-T_a)e^{-kt}$ | $k > 0$ |
| Capitalisation continue | $C(t) = C_0 e^{rt}$ | $r > 0$ |
Exercice résolu : modélisation complète
Énoncé : La population d'une ville est de 50 000 habitants en 2020. On suppose une croissance exponentielle avec un taux de 2 % par an.
a) Exprimer la population $P(t)$ en fonction du temps $t$ (en années après 2020).
$$P(t) = 50\,000 \cdot e^{0{,}02\,t}$$
b) Estimer la population en 2035 (soit $t = 15$).
$$P(15) = 50\,000 \cdot e^{0{,}02 \times 15} = 50\,000 \cdot e^{0{,}3} \approx 50\,000 \times 1{,}350 \approx 67\,493 \text{ habitants}$$
c) Déterminer l'année où la population atteindra 100 000 habitants.
$$50\,000 \cdot e^{0{,}02t} = 100\,000 \implies e^{0{,}02t} = 2 \implies 0{,}02t = \ln 2 \implies t = \frac{\ln 2}{0{,}02} \approx 34{,}7 \text{ ans}$$
La population doublera vers 2055.
Remarque : Le temps de doublement ne dépend pas de la population initiale, seulement du taux : $t_d = \dfrac{\ln 2}{k}$.
Méthode : résoudre un problème de modélisation exponentielle
- Identifier le modèle : croissance ($k > 0$) ou décroissance ($k < 0$).
- Déterminer $k$ à partir d'une condition connue (ex : « double en 3 h » → $e^{3k} = 2$).
- Écrire la fonction : $f(t) = f_0 \cdot e^{kt}$.
- Répondre aux questions : évaluer $f(t)$ pour un $t$ donné ou résoudre $f(t) = c$ (passer au $\ln$).
- Temps caractéristique : demi-vie $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ou temps de doublement $t_d = \dfrac{\ln 2}{k}$.
À retenir
- L'équation $y' = ay$ a pour solutions $y = Ce^{ax}$.
- Avec $y(0) = y_0$, la solution unique est $y = y_0 e^{ax}$.
- Si $a > 0$ : croissance exponentielle ; si $a < 0$ : décroissance exponentielle.
- Le temps de demi-vie est $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.