Dérivation et variations de la fonction exponentielle

Introduction

La fonction exponentielle possède des propriétés de dérivation remarquablement simples : elle est sa propre dérivée. Cette propriété fondatrice entraîne des conséquences importantes sur ses variations et ses limites, que nous étudions dans cette leçon.

Dérivée de la fonction exponentielle

Dérivée de $e^x$

$$\left(e^x\right)' = e^x$$

C'est la seule fonction (à une constante multiplicative près) égale à sa propre dérivée.

Dérivée de $e^{u(x)}$ (dérivée composée)

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :

$$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$

Exemples

Exemple 1 : Dériver $f(x) = e^{3x+2}$.

Ici $u(x) = 3x + 2$, donc $u'(x) = 3$.

$$f'(x) = 3e^{3x+2}$$

Exemple 2 : Dériver $g(x) = e^{x^2 - 1}$.

Ici $u(x) = x^2-1$, donc $u'(x) = 2x$.

$$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$

Exemple 3 : Dériver $h(x) = x \cdot e^x$.

On utilise la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ :

$$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$

Exemple 4 : Dériver $k(x) = \dfrac{e^x}{x}$ pour $x \neq 0$.

$$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$

Variations de la fonction exponentielle

Puisque $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, et que $(e^x)' = e^x > 0$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Tableau de variations

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$e^x$	$0^+$	$\nearrow$	$+\infty$

Limites aux bornes

$$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$

Interprétation graphique : L'axe des abscisses ($y = 0$) est asymptote horizontale à la courbe de $e^x$ en $-\infty$.

Croissances comparées

Les résultats de croissances comparées affirment que l'exponentielle « l'emporte » sur toute puissance de $x$.

En $+\infty$

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$

L'exponentielle croît plus vite que n'importe quel polynôme.

En $-\infty$

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :

$$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$

Le facteur $e^x$ force le produit vers 0 malgré la divergence de $x^n$.

Applications

Exemple 1 : Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x) e^{-x}$.

On écrit : $(x^2 - 3x)e^{-x} = \dfrac{x^2 - 3x}{e^x}$. Par croissance comparée, $\dfrac{x^2}{e^x} \to 0$ et $\dfrac{x}{e^x} \to 0$, donc :

$$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x)e^{-x} = 0$$

Exemple 2 : Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x - x$.

On factorise : $e^x - x = e^x\left(1 - \dfrac{x}{e^x}\right)$. Comme $\dfrac{x}{e^x} \to 0$, la parenthèse tend vers 1, et $e^x \to +\infty$, donc :

$$\lim_{x \to +\infty} (e^x - x) = +\infty$$

Étude complète d'une fonction

Exemple : Étudier $f(x) = (2x-1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.

1. Dérivée :

$$f'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x = (2x+1)e^x$$

2. Signe de $f'(x)$ :

Comme $e^x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2x+1$.

$f'(x) = 0 \iff x = -\frac{1}{2}$
$f'(x) > 0 \iff x > -\frac{1}{2}$
$f'(x) < 0 \iff x < -\frac{1}{2}$

3. Tableau de variations :

$x$	$-\infty$		$-\frac{1}{2}$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	$-2e^{-1/2}$	$\nearrow$	$+\infty$

Le minimum est $f\left(-\frac{1}{2}\right) = (2 \cdot (-\frac{1}{2})-1)e^{-1/2} = -2e^{-1/2} \approx -1{,}21$.

Exercices résolus

Exercice 1 : Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = e^{2x}$ au point d'abscisse $x_0 = 0$.

On calcule $f(0) = e^0 = 1$ et $f'(x) = 2e^{2x}$, donc $f'(0) = 2$.

L'équation de la tangente en $x_0 = 0$ est :

$$y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 2x + 1$$

Exercice 2 : Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.

On dérive (produit) : $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x}$.

Comme $e^{-x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$ :

$f'(x) > 0$ si $x < 1$ (croissante)
$f'(x) = 0$ si $x = 1$ (extremum)
$f'(x) < 0$ si $x > 1$ (décroissante)

Maximum en $x = 1$ : $f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}37$.

Limites : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (car $e^{-x} \to +\infty$) et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ (par croissances comparées).

Exercice 3 : Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{3x}}{x^5}$.

On pose $t = 3x$ ($t \to +\infty$ quand $x \to +\infty$) :

$$\frac{e^{3x}}{x^5} = \frac{e^{t}}{(t/3)^5} = 3^5 \cdot \frac{e^{t}}{t^5}$$

Par croissances comparées, $\dfrac{e^t}{t^5} \to +\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{3x}}{x^5} = +\infty$.

Méthode : étudier une fonction contenant $e^x$

Calculer $f'(x)$ : utiliser les formules de dérivation ($e^u$, produit, quotient).
Signe de $f'(x)$ : factoriser par $e^{u(x)} > 0$, puis étudier le facteur restant.
Limites : appliquer les croissances comparées pour lever les formes indéterminées.
Tangente en $x_0$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

À retenir

$(e^x)' = e^x$ et $(e^{u})' = u' \cdot e^{u}$.
$e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\lim_{-\infty} e^x = 0$ et $\lim_{+\infty} e^x = +\infty$.
Croissances comparées : l'exponentielle domine toute puissance de $x$.
Pour étudier le signe de $f'(x)$ quand elle contient $e^x$, on utilise $e^x > 0$.

Dérivation et variations