Dérivation et variations
Fonction exponentielle
Dérivation et variations de la fonction exponentielle
Introduction
La fonction exponentielle possède des propriétés de dérivation remarquablement simples : elle est sa propre dérivée. Cette propriété fondatrice entraîne des conséquences importantes sur ses variations et ses limites, que nous étudions dans cette leçon.
Dérivée de la fonction exponentielle
Dérivée de $$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$2
$$\left(e^x\right)' = e^x$$
C'est la seule fonction (à une constante multiplicative près) égale à sa propre dérivée.
Dérivée de $$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$3 (dérivée composée)
Si $$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$4 est une fonction dérivable sur un intervalle $$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$5, alors la fonction $$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$6 est dérivable sur $$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$7 et :
$$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$
Exemples
Exemple 1 : Dériver $$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$8.
Ici $$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$9, donc $$f'(x) = 3e^{3x+2}$$0.
$$f'(x) = 3e^{3x+2}$$
Exemple 2 : Dériver $$f'(x) = 3e^{3x+2}$$1.
Ici $$f'(x) = 3e^{3x+2}$$2, donc $$f'(x) = 3e^{3x+2}$$3.
$$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$
Exemple 3 : Dériver $$f'(x) = 3e^{3x+2}$$4.
On utilise la formule du produit $$f'(x) = 3e^{3x+2}$$5 :
$$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$
Exemple 4 : Dériver $$f'(x) = 3e^{3x+2}$$6 pour $$f'(x) = 3e^{3x+2}$$7.
$$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$
Variations de la fonction exponentielle
Puisque $$f'(x) = 3e^{3x+2}$$8 pour tout $$f'(x) = 3e^{3x+2}$$9, et que $$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$0, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$1.
Tableau de variations
| $$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$2 | $$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$3 | $$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$4 | |
|---|---|---|---|
| $$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$5 | $$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$6 | $$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$7 | $$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$8 |
Limites aux bornes
$$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$
Interprétation graphique : L'axe des abscisses ($$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2-1}$$9) est asymptote horizontale à la courbe de $$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$0 en $$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$1.
Croissances comparées
Les résultats de croissances comparées affirment que l'exponentielle « l'emporte » sur toute puissance de $$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$2.
En $$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$3
Pour tout entier naturel $$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$4 :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$
L'exponentielle croît plus vite que n'importe quel polynôme.
En $$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$5
Pour tout entier naturel $$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$6 :
$$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$
Le facteur $$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$7 force le produit vers 0 malgré la divergence de $$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$8.
Applications
Exemple 1 : Calculer $$h'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$9.
On écrit : $$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$0. Par croissance comparée, $$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$1 et $$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$2, donc :
$$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x)e^{-x} = 0$$
Exemple 2 : Calculer $$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$3.
On factorise : $$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$4. Comme $$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$5, la parenthèse tend vers 1, et $$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$6, donc :
$$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$0
Étude complète d'une fonction
Exemple : Étudier $$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$7 sur $$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$8.
1. Dérivée :
$$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$1
2. Signe de $$k'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$$9 :
Comme $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$0, le signe de $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$1 est celui de $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$2.
- $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$3
- $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$4
- $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$5
3. Tableau de variations :
| $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$6 | $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$7 | $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$8 | $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$9 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$0 | $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$1 | $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$2 | $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$3 | ||
| $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$4 | $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$5 | $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$6 | $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$7 | $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$8 | $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$9 |
Le minimum est $$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$0.
À retenir
- $$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$1 et $$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$2.
- $$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$3 est strictement croissante sur $$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$4, avec $$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$5 et $$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$6.
- Croissances comparées : l'exponentielle domine toute puissance de $$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$7.
- Pour étudier le signe de $$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$8 quand elle contient $$\lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0$$9, on utilise $$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x)e^{-x} = 0$$0.