Définition et propriétés algébriques
Fonction exponentielle
Définition et propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Introduction
La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques et en sciences. Elle modélise des phénomènes de croissance (population, capital placé) et de décroissance (radioactivité, refroidissement). Ce chapitre introduit sa définition rigoureuse et ses propriétés fondamentales.
Définition
La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :
$$f'(x) = f(x) \quad \text{et} \quad f(0) = 1$$
On la note $\exp$ et on écrit $\exp(x) = e^x$.
Remarque : La lettre $e$ désigne le nombre d'Euler, un nombre irrationnel dont la valeur approchée est $e \approx 2{,}718\,28$.
Conséquence immédiate
Puisque $f'(x) = f(x)$ et que le carré d'un nombre réel non nul est strictement positif, on peut montrer que :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$.
Propriétés algébriques
Les propriétés algébriques de l'exponentielle traduisent celles des puissances.
Propriété fondamentale
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$
Démonstration (idée) : On considère la fonction $g(x) = e^{a+x} \cdot e^{-x}$. Sa dérivée vaut $g'(x) = 0$, donc $g$ est constante. En évaluant en $x = 0$, on obtient $g(0) = e^a$, d'où $e^{a+b} \cdot e^{-b} = e^a$ et finalement $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$.
Propriétés déduites
Pour tous réels $a$ et $b$, et tout entier $n$ :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ |
| Quotient | $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ |
| Inverse | $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ |
| Puissance | $(e^a)^n = e^{na}$ |
| Valeur en 0 | $e^0 = 1$ |
| Valeur en 1 | $e^1 = e$ |
Exemples de simplification
Exemple 1 : Simplifier $A = e^3 \cdot e^{-5} \cdot e^2$.
$$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$
Exemple 2 : Simplifier $B = \dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-3}}$.
$$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$
Exemple 3 : Développer $C = (e^x - 1)(e^x + 1)$.
$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$
Équations et inéquations avec l'exponentielle
Unicité de l'exponentielle
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$e^a = e^b \iff a = b$$
L'exponentielle est une fonction injective (ou « strictement monotone »), ce qui permet de résoudre des équations.
Résolution d'équations
Exemple : Résoudre $e^{2x-1} = e^{x+3}$.
$$e^{2x-1} = e^{x+3} \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$$
Exemple : Résoudre $e^{x^2} = e^{4}$.
$$e^{x^2} = e^{4} \iff x^2 = 4 \iff x = 2 \text{ ou } x = -2$$
Signe de l'exponentielle
Comme $e^x > 0$ pour tout $x$ :
$$e^a > e^b \iff a > b$$
Exemple : Résoudre $e^{3x-2} > e^{x+1}$.
$$3x - 2 > x + 1 \iff 2x > 3 \iff x > \frac{3}{2}$$
L'ensemble des solutions est $\left]\frac{3}{2} ; +\infty\right[$.
Tableau de valeurs remarquables
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $e^x$ | $\approx 0{,}14$ | $\approx 0{,}37$ | $1$ | $\approx 2{,}72$ | $\approx 7{,}39$ | $\approx 20{,}09$ |
Exercices résolus
Exercice 1 : Résoudre $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$.
On pose $X = e^x$ (avec $X > 0$). L'équation devient :
$$X^2 - 5X + 6 = 0$$
$\Delta = 25 - 24 = 1$. Les racines sont $X_1 = 2$ et $X_2 = 3$ (positives ✓).
- $e^x = 2 \iff x = \ln 2$
- $e^x = 3 \iff x = \ln 3$
L'ensemble des solutions est $S = \{\ln 2 \;; \ln 3\}$.
Exercice 2 : Simplifier $D = \dfrac{e^{3x} \cdot e^{-x+1}}{(e^x)^2}$.
$$D = \frac{e^{3x+(-x+1)}}{e^{2x}} = \frac{e^{2x+1}}{e^{2x}} = e^{(2x+1)-2x} = e^1 = e$$
Exercice 3 : Montrer que $e^x \geq 1 + x$ pour tout réel $x$.
On pose $g(x) = e^x - 1 - x$. Alors $g'(x) = e^x - 1$.
- $g'(x) = 0 \iff x = 0$
- $g'(x) < 0$ si $x < 0$ ; $g'(x) > 0$ si $x > 0$
Le minimum est en $x = 0$ : $g(0) = 1 - 1 - 0 = 0$. Donc $g(x) \geq 0$ pour tout $x$, c'est-à-dire $e^x \geq 1 + x$.
Méthode : résoudre une équation avec l'exponentielle
- Forme $e^{f(x)} = e^{g(x)}$ : utiliser l'injectivité pour écrire $f(x) = g(x)$.
- Forme $ae^{2x} + be^x + c = 0$ : poser $X = e^x$ ($X > 0$) et résoudre le trinôme. Vérifier que les solutions sont positives.
- Inéquation : $e^{f(x)} > e^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$ (croissance stricte de $\exp$).
- Simplification : regrouper les exposants avec $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$ avant de résoudre.
À retenir
- La fonction exponentielle est l'unique fonction égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0.
- $e^x > 0$ pour tout réel $x$.
- Les règles de calcul sur les exposants se transposent directement.
- $e^a = e^b \iff a = b$ et $e^a > e^b \iff a > b$.