Définition et propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Introduction

La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques et en sciences. Elle modélise des phénomènes de croissance (population, capital placé) et de décroissance (radioactivité, refroidissement). Ce chapitre introduit sa définition rigoureuse et ses propriétés fondamentales.

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Définition

La fonction exponentielle est l'unique fonction $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$1 définie et dérivable sur $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$2 telle que :

$$f'(x) = f(x) \quad \text{et} \quad f(0) = 1$$

On la note $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$3 et on écrit $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$4.

Remarque : La lettre $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$5 désigne le nombre d'Euler, un nombre irrationnel dont la valeur approchée est $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$6.

Conséquence immédiate

Puisque $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$7 et que le carré d'un nombre réel non nul est strictement positif, on peut montrer que :

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$

La fonction exponentielle est strictement positive sur $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$8.

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Propriétés algébriques

Les propriétés algébriques de l'exponentielle traduisent celles des puissances.

Propriété fondamentale

Pour tous réels $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$9 et $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$0 :

$$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$

Démonstration (idée) : On considère la fonction $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$1. Sa dérivée vaut $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$2, donc $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$3 est constante. En évaluant en $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$4, on obtient $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$5, d'où $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$6 et finalement $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$7.

Propriétés déduites

Pour tous réels $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$8 et $$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$$9, et tout entier $$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$0 :

Propriété	Formule
Produit	$$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$1
Quotient	$$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$2
Inverse	$$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$3
Puissance	$$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$4
Valeur en 0	$$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$5
Valeur en 1	$$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$6

Exemples de simplification

Exemple 1 : Simplifier $$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$7.

$$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$

Exemple 2 : Simplifier $$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$8.

$$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$

Exemple 3 : Développer $$A = e^{3 + (-5) + 2} = e^{0} = 1$$9.

$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$

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Équations et inéquations avec l'exponentielle

Unicité de l'exponentielle

Pour tous réels $$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$0 et $$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$1 :

$$e^a = e^b \iff a = b$$

L'exponentielle est une fonction injective (ou « strictement monotone »), ce qui permet de résoudre des équations.

Résolution d'équations

Exemple : Résoudre $$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$2.

$$e^{2x-1} = e^{x+3} \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$$

Exemple : Résoudre $$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$3.

$$e^{x^2} = e^{4} \iff x^2 = 4 \iff x = 2 \text{ ou } x = -2$$

Signe de l'exponentielle

Comme $$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$4 pour tout $$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$5 :

$$e^a > e^b \iff a > b$$

Exemple : Résoudre $$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$6.

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0$$0

L'ensemble des solutions est $$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$7.

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Tableau de valeurs remarquables

$$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$8	$$B = e^{(2x+1)-(x-3)} = e^{x+4}$$9	$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$0	$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$1	$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$2	$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$3	$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$4
$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$5	$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$6	$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$7	$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$8	$$C = (e^x)^2 - 1^2 = e^{2x} - 1$$9	$$e^a = e^b \iff a = b$$0	$$e^a = e^b \iff a = b$$1

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À retenir

• La fonction exponentielle est l'unique fonction égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0.
• $$e^a = e^b \iff a = b$$2 pour tout réel $$e^a = e^b \iff a = b$$3.
• Les règles de calcul sur les exposants se transposent directement.
• $$e^a = e^b \iff a = b$$4 et $$e^a = e^b \iff a = b$$5.