Nombre dérivé et tangente
Dérivation
Nombre dérivé et tangente
Introduction — Le problème de la tangente
Comment mesurer la « vitesse de variation » d'une fonction en un point ? Comment tracer la tangente à une courbe ?
Ces deux questions fondamentales sont à l'origine du concept de dérivée, l'un des outils les plus puissants de l'analyse mathématique.
Taux de variation
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soient $a$ et $a+h$ deux points de $I$ (avec $h \neq 0$).
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Géométriquement, c'est la pente de la sécante passant par les points $A(a ; f(a))$ et $B(a+h ; f(a+h))$.
Nombre dérivé
Définition
Si le taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$ et on note cette limite :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
$f'(a)$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$.
Interprétation géométrique
$f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point $A(a ; f(a))$.
Quand $h \to 0$, la sécante « pivote » vers la tangente, et sa pente tend vers $f'(a)$.
Interprétation cinématique
Si $f(t)$ représente la position d'un mobile à l'instant $t$, alors $f'(t)$ est sa vitesse instantanée.
Équation de la tangente
L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est :
$$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$
C'est l'équation d'une droite de pente $f'(a)$ passant par le point $(a ; f(a))$.
Exemples de calcul du nombre dérivé
Exemple 1 : $f(x) = x^2$ en $a = 3$
$$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$
Pour $h \to 0$ : $f'(3) = 6$.
La tangente en $(3 ; 9)$ a pour équation : $y = 6(x-3) + 9 = 6x - 9$.
Exemple 2 : $f(x) = \frac{1}{x}$ en $a = 2$
$$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$
Pour $h \to 0$ : $f'(2) = -\frac{1}{4}$.
La tangente en $\left(2 ; \frac{1}{2}\right)$ a pour équation : $y = -\frac{1}{4}(x-2) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + 1$.
Exemple 3 : $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 9$
$$\frac{f(9+h) - f(9)}{h} = \frac{\sqrt{9+h} - 3}{h}$$
On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{9+h} + 3$ :
$$= \frac{(\sqrt{9+h} - 3)(\sqrt{9+h} + 3)}{h(\sqrt{9+h} + 3)} = \frac{(9+h) - 9}{h(\sqrt{9+h} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{9+h} + 3}$$
Pour $h \to 0$ : $f'(9) = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$.
La tangente en $(9 ; 3)$ a pour équation : $y = \frac{1}{6}(x - 9) + 3 = \frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$.
Méthode : déterminer l'équation d'une tangente
Pour trouver l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$, on suit quatre étapes :
- Calculer $f(a)$ : c'est l'ordonnée du point de tangence.
- Calculer $f'(a)$ : soit par la définition (limite du taux de variation), soit à l'aide des formules de dérivation.
- Écrire l'équation : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
- Simplifier en développant et réduisant.
Approximation affine
La tangente fournit une approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ :
$$f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a) \quad \text{pour } h \text{ proche de } 0$$
Application : calculer une valeur approchée de $\sqrt{10}$.
On pose $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 9$ et $h = 1$ :
$$\sqrt{10} \approx f(9) + 1 \times f'(9) = 3 + \frac{1}{6} \approx 3{,}167$$
La valeur exacte est $\sqrt{10} \approx 3{,}162$ : l'approximation est excellente.
Dérivabilité et continuité
Propriété : si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$. La réciproque est fausse.
Contre-exemple : la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en $0$ mais pas dérivable en $0$ (la courbe présente un « angle »).
En effet, $\frac{|0+h| - |0|}{h} = \frac{|h|}{h}$ vaut $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$ : il n'y a pas de limite unique, donc pas de nombre dérivé.
Exercice résolu
Énoncé : soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.
- Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $x = 1$.
- En quel point la tangente à la courbe est-elle horizontale ?
Solution :
1. On calcule $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$.
Le taux de variation en $a = 1$ :
$$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 4(1+h) + 3}{h} = \frac{h^2 - 2h}{h} = h - 2$$
Donc $f'(1) = \lim_{h \to 0}(h - 2) = -2$.
Équation de la tangente : $y = -2(x - 1) + 0 = -2x + 2$.
2. Tangente horizontale $\Leftrightarrow f'(a) = 0$.
On montre que $f'(a) = 2a - 4$ (même méthode). Donc $2a - 4 = 0$, soit $a = 2$.
Le point est $(2 ; f(2)) = (2 ; -1)$. La tangente horizontale a pour équation $y = -1$.
À retenir
- Le nombre dérivé $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ mesure la pente de la tangente.
- L'équation de la tangente en $a$ est $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.
- L'approximation affine : $f(a+h) \approx f(a) + hf'(a)$ pour $h$ petit.
- Dérivable $\Rightarrow$ continue, mais la réciproque est fausse.
- Pour calculer un nombre dérivé : former le quotient, simplifier par $h$, puis faire tendre $h$ vers $0$.