Nombre dérivé et tangente
Dérivation
Nombre dérivé et tangente
Introduction — Le problème de la tangente
Comment mesurer la « vitesse de variation » d'une fonction en un point ? Comment tracer la tangente à une courbe ?
Ces deux questions fondamentales sont à l'origine du concept de dérivée, l'un des outils les plus puissants de l'analyse mathématique.
Taux de variation
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soient $a$ et $a+h$ deux points de $I$ (avec $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$0).
Le taux de variation de $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$1 entre $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$2 et $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$3 est :
$$\tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Géométriquement, c'est la pente de la sécante passant par les points $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$4 et $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$5.
Nombre dérivé
Définition
Si le taux de variation $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$6 admet une limite finie quand $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$7 tend vers $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$8, on dit que $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$9 est dérivable en $$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$0 et on note cette limite :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
$$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$1 est le nombre dérivé de $$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$2 en $$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$3.
Interprétation géométrique
$$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$4 est la pente de la tangente à la courbe de $$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$5 au point $$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$6.
Quand $$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$7, la sécante « pivote » vers la tangente, et sa pente tend vers $$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$8.
Interprétation cinématique
Si $$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$9 représente la position d'un mobile à l'instant $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$0, alors $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$1 est sa vitesse instantanée.
Équation de la tangente
L'équation de la tangente à la courbe de $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$2 au point d'abscisse $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$3 est :
$$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$
C'est l'équation d'une droite de pente $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$4 passant par le point $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$5.
Exemples de calcul du nombre dérivé
Exemple 1 : $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$6 en $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$7
$$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$
Pour $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$8 : $$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$$9.
La tangente en $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$0 a pour équation : $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$1.
Exemple 2 : $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$2 en $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$3
$$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$
Pour $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$4 : $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$5.
La tangente en $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$6 a pour équation : $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$7.
Dérivabilité et continuité
Propriété : si $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$8 est dérivable en $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2-(2+h)}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}$$9, alors $f$0 est continue en $f$1. La réciproque est fausse.
Contre-exemple : la fonction valeur absolue $f$2 est continue en $f$3 mais pas dérivable en $f$4 (la courbe présente un « angle »).
À retenir
- Le nombre dérivé $f$5 mesure la pente de la tangente.
- L'équation de la tangente en $f$6 est $f$7.
- Dérivable ⟹ continue, mais la réciproque est fausse.