Dérivées usuelles et règles de dérivation
Dérivation
Dérivées usuelles et règles de dérivation
Tableau des dérivées usuelles
Les résultats suivants sont à connaître par cœur :
| Fonction $f(x)$ | Ensemble de dérivabilité | Dérivée $f'(x)$ |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $\mathbb{R}$ | $0$ |
| $x$ | $\mathbb{R}$ | $1$ |
| $x^2$ | $\mathbb{R}$ | $2x$ |
| $x^3$ | $\mathbb{R}$ | $3x^2$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) | $\mathbb{R}$ | $nx^{n-1}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\mathbb{R}^*$ | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | $]0 ; +\infty[$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
Opérations sur les dérivées
Somme
$$(u + v)' = u' + v'$$
Multiplication par un scalaire
$$(ku)' = ku' \qquad (k \in \mathbb{R})$$
Produit
$$(uv)' = u'v + uv'$$
Moyen mnémotechnique : « la dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second ».
Quotient
$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \qquad (v \neq 0)$$
Exemples d'application
Exemple 1 : dérivée d'un polynôme
Soit $f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$.
$$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5$$
On dérive terme à terme : $(3x^4)' = 12x^3$, $(-2x^3)' = -6x^2$, $(5x)' = 5$ et $(-7)' = 0$.
Exemple 2 : dérivée d'un produit
Soit $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$.
On pose $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = x^2-3$.
- $u'(x) = 2$, $v'(x) = 2x$
$$f'(x) = 2(x^2-3) + (2x+1) \cdot 2x = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$$
Exemple 3 : dérivée d'un quotient
Soit $f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$.
- $u(x) = x+1$, $u'(x) = 1$
- $v(x) = x^2+1$, $v'(x) = 2x$
$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$$
Remarque : dans la formule du quotient, l'ordre est important. C'est « dérivée du numérateur fois dénominateur moins numérateur fois dérivée du dénominateur ». Inverser les termes change le signe du résultat.
Dérivées composées
La dérivée de $g \circ u$ (« $g$ de $u$ ») est :
$$(g \circ u)'(x) = u'(x) \cdot g'(u(x))$$
Applications fréquentes
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $u^n$ | $n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ |
| $\frac{1}{u}$ | $-\frac{u'}{u^2}$ |
| $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
Exemple
Soit $f(x) = (3x+1)^4$.
On pose $u(x) = 3x+1$, donc $u'(x) = 3$.
$$f'(x) = 4 \times 3 \times (3x+1)^3 = 12(3x+1)^3$$
Exemple 5
Soit $f(x) = \sqrt{5x - 2}$.
On pose $u(x) = 5x - 2$, donc $u'(x) = 5$.
$$f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x - 2}}$$
Méthode : identifier la règle à appliquer
Face à une fonction à dériver, on se pose la question dans cet ordre :
- Somme de termes ? → on dérive terme à terme.
- Produit de deux fonctions ? → formule $(uv)' = u'v + uv'$.
- Quotient ? → formule $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$.
- Fonction composée ? → formule $(g \circ u)' = u' \cdot g'(u)$.
Conseil : avant de dériver, vérifier s'il est possible de développer ou simplifier l'expression. C'est souvent plus rapide.
Exercice résolu
Énoncé : soit $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$.
- Déterminer l'ensemble de définition et calculer $f'(x)$.
- En déduire le sens de variation de $f$.
Solution :
1. $f$ est définie pour $x \neq 1$, donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
On applique la formule du quotient avec $u = 2x+3$ ($u' = 2$) et $v = x-1$ ($v' = 1$) :
$$f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2}$$
2. Le dénominateur $(x-1)^2 > 0$ pour tout $x \neq 1$, et le numérateur vaut $-5 < 0$.
Donc $f'(x) < 0$ sur $D_f$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; 1[$ et sur $]1 ; +\infty[$.
Attention : on ne peut pas dire que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ en un seul morceau, car $f$ n'est pas continue en $x = 1$. Il faut séparer les deux intervalles.
Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins dans $(1/u)' = -u'/u^2$.
- Confondre $(uv)'$ avec $u' \times v'$ : le produit des dérivées n'est pas la dérivée du produit.
- Omettre le $u'$ dans la dérivée composée : $(u^n)' = nu'u^{n-1}$ et non $nu^{n-1}$.
- Oublier le carré au dénominateur dans la formule du quotient.
Tableau récapitulatif des règles
| Opération | Formule |
|---|---|
| $(u+v)' $ | $u' + v'$ |
| $(ku)'$ | $ku'$ |
| $(uv)'$ | $u'v + uv'$ |
| $\left(\frac{u}{v}\right)'$ | $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ |
| $(u^n)'$ | $nu'u^{n-1}$ |
| $(\sqrt{u})'$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
À retenir
- Connaître le tableau des dérivées usuelles ($x^n$, $1/x$, $\sqrt{x}$).
- Maîtriser les quatre opérations : somme, produit, quotient, composée.
- La formule du quotient nécessite que $v \neq 0$ : $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$.
- Toujours penser au facteur $u'$ dans les dérivées composées.
- Avant de dériver, chercher à simplifier l'expression si possible.