Applications de la dérivation

Lien entre signe de la dérivée et variations

C'est le résultat fondamental de ce chapitre :

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Comment dresser un tableau de variations

1. Calculer $f'(x)$.
2. Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs critiques.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle.
4. En déduire les variations de $f$ et reporter dans un tableau.

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Extremums locaux

Définition

• $f$ admet un maximum local en $c$ si $f(c) \geq f(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $c$.
• $f$ admet un minimum local en $c$ si $f(c) \leq f(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $c$.

Condition nécessaire

Si $f$ est dérivable en $c$ et admet un extremum local en $c$, alors $f'(c) = 0$.

Attention : la réciproque est fausse ! $f'(c) = 0$ ne garantit pas un extremum (exemple : $f(x) = x^3$ en $c = 0$).

Condition suffisante

$f$ admet un extremum local en $c$ si $f'$ change de signe en $c$ :

• $f'$ passe de $+$ à $-$ en $c$ → maximum local.
• $f'$ passe de $-$ à $+$ en $c$ → minimum local.

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Exemple complet : étude de $f(x) = x^3 - 3x + 1$

Étape 1 — Ensemble de définition : $D_f = \mathbb{R}$.

Étape 2 — Dérivée :

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)$$

Étape 3 — Signe de $f'$ :

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ ou $x = 1$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$	$+$		$0$	$-$	$0$		$+$
$f$	↗		$3$	↘	$-1$		↗

Étape 4 — Extremums :

• Maximum local en $x = -1$ : $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$
• Minimum local en $x = 1$ : $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$

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Problèmes d'optimisation

La dérivation permet de résoudre des problèmes concrets d'optimisation : trouver le maximum ou le minimum d'une grandeur.

Méthode

1. Modéliser : exprimer la grandeur à optimiser comme une fonction $f(x)$.
2. Dériver et résoudre $f'(x) = 0$.
3. Vérifier que la valeur trouvée correspond à un extremum (changement de signe de $f'$).
4. Conclure en revenant au problème concret.

Exemple : aire maximale d'un rectangle sous contrainte

On dispose d'une clôture de 20 m pour entourer un rectangle. Quelles dimensions maximisent l'aire ?

Si $x$ est la longueur, le périmètre impose $2x + 2y = 20$, soit $y = 10 - x$ avec $0 < x < 10$.

L'aire est $A(x) = x(10-x) = 10x - x^2$.

$$A'(x) = 10 - 2x$$

$A'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5$.

Pour $x < 5$ : $A'(x) > 0$ (croissante). Pour $x > 5$ : $A'(x) < 0$ (décroissante).

Maximum en $x = 5$, $y = 5$ : c'est un carré de côté 5 m, d'aire $A = 25$ m².

Exemple 2 : volume maximal d'une boîte

On découpe des carrés de côté $x$ aux quatre coins d'une feuille rectangulaire de $12$ cm par $8$ cm, puis on plie pour former une boîte ouverte. Quel $x$ maximise le volume ?

Le volume est $V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x)$ avec $0 < x < 4$.

En développant : $V(x) = 4x^3 - 40x^2 + 96x$.

$$V'(x) = 12x^2 - 80x + 96 = 4(3x^2 - 20x + 24)$$

$V'(x) = 0$ donne $x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 288}}{6} = \frac{20 \pm \sqrt{112}}{6}$.

On obtient $x \approx 1{,}57$ (la seule valeur dans $]0 ; 4[$).

Le signe de $V'$ confirme un maximum : $V(1{,}57) \approx 67{,}6$ cm³.

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Exercice résolu : étude complète

Énoncé : soit $f(x) = -x^3 + 3x$ sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$.

Solution :

1. $f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1) = -3(x-1)(x+1)$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ ou $x = 1$.

2. Pour $x < -1$ : $f'(x) < 0$ (décroissante). Pour $-1 < x < 1$ : $f'(x) > 0$ (croissante). Pour $x > 1$ : $f'(x) < 0$ (décroissante).

$f(-1) = 1 - 3 = -2$ (minimum local). $f(1) = -1 + 3 = 2$ (maximum local).

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Tangente et position relative

L'équation de la tangente en $a$ étant $y = f'(a)(x-a) + f(a)$, on peut étudier la position de la courbe par rapport à sa tangente en calculant :

$$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$

• Si $d(x) > 0$ au voisinage de $a$ : la courbe est au-dessus de sa tangente.
• Si $d(x) < 0$ : la courbe est en dessous.

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À retenir

• $f' > 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f' < 0 \Rightarrow f$ décroissante.
• Pour un extremum : $f'(c) = 0$ et changement de signe de $f'$.
• $f'(c) = 0$ sans changement de signe $\Rightarrow$ pas d'extremum (ex : $x^3$ en $0$).
• La dérivation est l'outil central des problèmes d'optimisation : modéliser, dériver, résoudre, conclure.
• Dresser un tableau de variations : calculer $f'$, trouver ses zéros, signer, conclure.