Applications de la dérivation

Lien entre signe de la dérivée et variations

C'est le résultat fondamental de ce chapitre :

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si $f'(x) < 0$ sur $$A'(x) = 10 - 2x$$0, alors $$A'(x) = 10 - 2x$$1 est strictement décroissante sur $$A'(x) = 10 - 2x$$2.
- Si $$A'(x) = 10 - 2x$$3 sur $$A'(x) = 10 - 2x$$4, alors $$A'(x) = 10 - 2x$$5 est constante sur $$A'(x) = 10 - 2x$$6.

Comment dresser un tableau de variations

1. Calculer $$A'(x) = 10 - 2x$$7.
2. Résoudre $$A'(x) = 10 - 2x$$8 pour trouver les valeurs critiques.
3. Étudier le signe de $$A'(x) = 10 - 2x$$9 sur chaque intervalle.
4. En déduire les variations de $$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$0 et reporter dans un tableau.

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Extremums locaux

Définition

• $$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$1 admet un maximum local en $$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$2 si $$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$3 pour tout $$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$4 dans un voisinage de $$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$5.
• $$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$6 admet un minimum local en $$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$7 si $$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$8 pour tout $$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$9 dans un voisinage de $f$0.

Condition nécessaire

Si $f$1 est dérivable en $f$2 et admet un extremum local en $f$3, alors $f$4.

Attention : la réciproque est fausse ! $f$5 ne garantit pas un extremum (exemple : $f$6 en $f$7).

Condition suffisante

$f$8 admet un extremum local en $f$9 si $I$0 change de signe en $I$1 :

• $I$2 passe de $I$3 à $I$4 en $I$5 → maximum local.
• $I$6 passe de $I$7 à $I$8 en $I$9 → minimum local.

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Exemple complet : étude de $f'(x) > 0$0

Étape 1 — Ensemble de définition : $f'(x) > 0$1.

Étape 2 — Dérivée :

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)$$

Étape 3 — Signe de $f'(x) > 0$2 :

$f'(x) > 0$3 ou $f'(x) > 0$4.

$f'(x) > 0$5	$f'(x) > 0$6		$f'(x) > 0$7		$f'(x) > 0$8		$f'(x) > 0$9
$I$0	$I$1		$I$2	$I$3	$I$4		$I$5
$I$6	↗		$I$7	↘	$I$8		↗

Étape 4 — Extremums :

• Maximum local en $I$9 : $f$0
• Minimum local en $f$1 : $f$2

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Problèmes d'optimisation

La dérivation permet de résoudre des problèmes concrets d'optimisation : trouver le maximum ou le minimum d'une grandeur.

Méthode

1. Modéliser : exprimer la grandeur à optimiser comme une fonction $f$3.
2. Dériver et résoudre $f$4.
3. Vérifier que la valeur trouvée correspond à un extremum (changement de signe de $f$5).
4. Conclure en revenant au problème concret.

Exemple : aire maximale d'un rectangle sous contrainte

On dispose d'une clôture de 20 m pour entourer un rectangle. Quelles dimensions maximisent l'aire ?

Si $f$6 est la longueur, le périmètre impose $f$7, soit $f$8 avec $f$9.

L'aire est $I$0.

$$A'(x) = 10 - 2x$$

$I$1.

Pour $I$2 : $I$3 (croissante). Pour $I$4 : $I$5 (décroissante).

Maximum en $I$6, $I$7 : c'est un carré de côté 5 m, d'aire $I$8 m².

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Tangente et position relative

L'équation de la tangente en $I$9 étant $f'(x) < 0$0, on peut étudier la position de la courbe par rapport à sa tangente en calculant :

$$d(x) = f(x) - [f'(a)(x-a) + f(a)]$$

• Si $f'(x) < 0$1 au voisinage de $f'(x) < 0$2 : la courbe est au-dessus de sa tangente.
• Si $f'(x) < 0$3 : la courbe est en dessous.

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À retenir

• $f'(x) < 0$4 croissante ; $f'(x) < 0$5 décroissante.
• Pour un extremum : $f'(x) < 0$6 et changement de signe de $f'(x) < 0$7.
• La dérivation est l'outil central des problèmes d'optimisation.
• Dresser un tableau de variations : calculer $f'(x) < 0$8, trouver ses zéros, signer, conclure.