Avancement et bilan de matière

Introduction

Lors d'une transformation chimique, les quantités de réactifs diminuent et celles des produits augmentent. Pour suivre quantitativement cette évolution, le chimiste utilise une grandeur appelée avancement de réaction, notée $x$. Couplé au tableau d'avancement, cet outil permet de déterminer les quantités de matière de toutes les espèces à tout instant de la transformation et, en particulier, à l'état final. On peut ainsi identifier le réactif limitant, calculer les masses ou volumes de produits formés et réaliser un bilan complet de matière. Ces compétences sont centrales en chimie de Première.

Section 1 — L'avancement de réaction

Définition

L'avancement $x$ (en mol) est une grandeur qui mesure la progression d'une transformation chimique. Pour la réaction générale :

$$a\,A + b\,B \longrightarrow c\,C + d\,D$$

les quantités de matière à un instant donné s'expriment en fonction de $x$ :

• Réactif $A$ : $n_A = n_A^0 - a \cdot x$
• Réactif $B$ : $n_B = n_B^0 - b \cdot x$
• Produit $C$ : $n_C = n_C^0 + c \cdot x$ (souvent $n_C^0 = 0$)
• Produit $D$ : $n_D = n_D^0 + d \cdot x$ (souvent $n_D^0 = 0$)

où $n^0$ désigne la quantité initiale et $a$, $b$, $c$, $d$ sont les coefficients stœchiométriques.

Interprétation

• Quand $x = 0$ : on est à l'état initial, aucune transformation n'a eu lieu.
• Quand $x$ augmente : les réactifs sont progressivement consommés et les produits formés.
• Quand $x = x_{max}$ : la transformation s'arrête (état final).

Section 2 — Le tableau d'avancement

Construction

Le tableau d'avancement récapitule l'évolution de toutes les quantités de matière au cours de la transformation. Il comporte trois lignes essentielles :

État	Avancement	$a\,A$	$b\,B$	$c\,C$	$d\,D$
Initial	$x = 0$	$n_A^0$	$n_B^0$	$0$	$0$
En cours	$x$	$n_A^0 - a\,x$	$n_B^0 - b\,x$	$c\,x$	$d\,x$
Final	$x_{max}$	$n_A^0 - a\,x_{max}$	$n_B^0 - b\,x_{max}$	$c\,x_{max}$	$d\,x_{max}$

Règles importantes

• Les quantités de matière des réactifs diminuent au cours de la réaction (expression avec un signe $-$).
• Les quantités de matière des produits augmentent au cours de la réaction (expression avec un signe $+$).
• Une quantité de matière ne peut jamais être négative : c'est cette contrainte qui détermine l'avancement maximal.

Section 3 — Avancement maximal et réactif limitant

Détermination de $x_{max}$

L'avancement maximal $x_{max}$ est la plus grande valeur de $x$ pour laquelle toutes les quantités de réactifs restent positives ou nulles. On l'obtient en résolvant :

• $n_A^0 - a \cdot x \geq 0 \Rightarrow x \leq \dfrac{n_A^0}{a}$
• $n_B^0 - b \cdot x \geq 0 \Rightarrow x \leq \dfrac{n_B^0}{b}$

D'où :

$$x_{max} = \min\left(\frac{n_A^0}{a}\,;\,\frac{n_B^0}{b}\right)$$

Le réactif limitant

Le réactif limitant est celui dont la quantité s'annule en premier, c'est-à-dire celui qui conduit à la plus petite valeur du rapport $n^0 / \text{coefficient stœchiométrique}$. Il détermine la quantité maximale de produits pouvant être formés. L'autre réactif est dit en excès : il reste partiellement à l'état final.

Attention : le réactif limitant n'est pas forcément celui introduit en plus petite quantité de matière. Il faut systématiquement comparer les rapports $n^0 / \text{coefficient}$.

Section 4 — Bilan de matière à l'état final

Composition de l'état final

Une fois $x_{max}$ déterminé, on calcule les quantités de matière à l'état final en remplaçant $x$ par $x_{max}$ dans le tableau d'avancement. Le réactif limitant a une quantité nulle ; le réactif en excès a une quantité restante strictement positive.

Conversions utiles

À partir des quantités de matière à l'état final, on peut calculer :

• La masse d'un produit : $m = n \times M$
• La concentration (si la réaction a lieu en solution) : $C = n / V_{solution}$
• Le volume d'un gaz produit : $V = n \times V_m$ avec $V_m \approx 24{,}0$ L·mol$^{-1}$ à 20 °C et $1{,}013 \times 10^5$ Pa

Section 5 — Application : exercice résolu

Énoncé : On fait réagir $4{,}0$ g de fer $Fe$ ($M_{Fe} = 56$ g/mol) avec $200$ mL d'une solution de chlorure de cuivre (II) $CuCl_2$ à $C = 0{,}50$ mol/L. La réaction est :

$$Fe + Cu^{2+} \longrightarrow Fe^{2+} + Cu$$

Déterminer le réactif limitant, la masse de cuivre formée ($M_{Cu} = 63{,}5$ g/mol) et la quantité de matière du réactif en excès restant.

Étape 1 — Calcul des quantités initiales :

$$n_{Fe}^0 = \frac{m}{M} = \frac{4{,}0}{56} = 0{,}071 \text{ mol}$$

$$n_{Cu^{2+}}^0 = C \times V = 0{,}50 \times 0{,}200 = 0{,}10 \text{ mol}$$

Étape 2 — Tableau d'avancement :

État	$x$	$Fe$	$Cu^{2+}$	$Fe^{2+}$	$Cu$
Initial	$0$	$0{,}071$	$0{,}10$	$0$	$0$
Final	$x_{max}$	$0{,}071 - x_{max}$	$0{,}10 - x_{max}$	$x_{max}$	$x_{max}$

Étape 3 — Avancement maximal :

$$x_{max} = \min\left(\frac{0{,}071}{1}\,;\,\frac{0{,}10}{1}\right) = \min(0{,}071\,;\,0{,}10) = 0{,}071 \text{ mol}$$

Le réactif limitant est le fer $Fe$.

Étape 4 — Bilan final :

• $n_{Cu} = x_{max} = 0{,}071$ mol → $m_{Cu} = 0{,}071 \times 63{,}5 = 4{,}5$ g
• $n_{Cu^{2+}} = 0{,}10 - 0{,}071 = 0{,}029$ mol (en excès)
• $n_{Fe} = 0$ mol (entièrement consommé)

À retenir

• L'avancement $x$ (en mol) mesure la progression d'une réaction. Les quantités s'écrivent : $n_A = n_A^0 - a \cdot x$ (réactif) et $n_C = c \cdot x$ (produit).
• Le tableau d'avancement résume l'état initial, intermédiaire et final du système chimique.
• $x_{max} = \min\left(\frac{n_A^0}{a}\,;\,\frac{n_B^0}{b}\right)$ : le réactif limitant est celui qui impose le plus petit rapport $n^0 / \text{coefficient}$.
• Le réactif limitant n'est pas forcément celui introduit en plus petite quantité.
• À l'état final, on peut calculer masses ($m = n \times M$), concentrations ($C = n / V$) et volumes de gaz ($V = n \times V_m$).

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